Variância: Conceito, Fórmula e como Calcular

A variância é um conceito estatístico que desempenha um papel fundamental na análise de dados, sendo amplamente utilizada em áreas como inteligência artificial, machine learning e ciência de dados.

Esse conceito foi formalmente introduzido no início do século XX por Ronald Aylmer Fisher, um estatístico e geneticista britânico. Ele é amplamente reconhecido como um dos fundadores da moderna ciência estatística e sua contribuição para o campo é imensa, abrangendo a teoria estatística, a genética, a biologia e a evolução.

Fisher desenvolveu o conceito de variância no contexto da genética, enquanto investigava a hereditariedade e a seleção natural. Ele percebeu que, para entender a hereditariedade dos traços, era essencial medir a dispersão dos dados em relação à média. A variância forneceu uma maneira de quantificar essa dispersão, permitindo que os pesquisadores analisassem a variação genética de forma mais precisa.

Compreender a variância é essencial para quem deseja aprofundar seus conhecimentos em análise de dados e estatística. Neste artigo, explicarei detalhadamente o que é a variância, como calculá-la e por que ela é tão importante.

O que é Variância?

Variância é uma medida que indica o quanto os valores de um conjunto de dados se dispersam em relação à média desses valores. Em outras palavras, a variância quantifica a extensão da variação ou dispersão dos dados. Quanto maior a variância, mais espalhados estão os valores; quanto menor a variância, mais próximos estão os valores da média.

Importância da Variância

A variância é importante porque fornece informações sobre a distribuição dos dados, ajudando a identificar a consistência e a confiabilidade dos resultados.

Em machine learning, por exemplo, a variância é usada para avaliar a performance de modelos preditivos e ajustar hiperparâmetros. Na ciência de dados, ela auxilia na detecção de outliers e na compreensão das características dos dados.

Fórmula da Variância

A fórmula da variância depende do tipo de dados que estamos analisando: uma amostra ou a população inteira. Para ambos os casos, a ideia é calcular o desvio de cada valor em relação à média e, em seguida, encontrar a média desses desvios ao quadrado.

Variância da População

Para uma população inteira, a variância (σ²) é calculada da seguinte forma:

 
Onde:

• σ² é a variância da população.
• N é o número total de elementos na população.
• x_i são os valores individuais.
• μ é a média da população.

Variância da Amostra

Para uma amostra, a variância (s²) é calculada de forma ligeiramente diferente para compensar o fato de que estamos trabalhando com uma parte da população:

 
Onde:

• s² é a variância da amostra.
• n é o número de elementos na amostra.
• x_i são os valores individuais da amostra.
• [math]\bar{x}[/math] é a média da amostra.

Calculando a Variância na Prática

Vamos considerar um exemplo prático para ilustrar o cálculo da variância.

Exemplo: Variância da População

Suponha que temos a população de alturas de cinco pessoas em uma pequena comunidade: 150 cm, 160 cm, 170 cm, 180 cm, e 190 cm.

1. Calcule a média (μ):

[math]\mu = \frac{150 + 160 + 170 + 180 + 190}{5} = 170 \text{ cm}[/math]

2. Calcule os desvios de cada valor em relação à média e eleve ao quadrado:

[math](150 – 170)^2 = 400[/math] [math](160 – 170)^2 = 100[/math] [math](170 – 170)^2 = 0[/math] [math](180 – 170)^2 = 100[/math] [math](190 – 170)^2 = 400[/math]

3. Encontre a média desses desvios ao quadrado:

[math]\sigma^2 = \frac{400 + 100 + 0 + 100 + 400}{5} = 200 \text{ cm}^2[/math]

Exemplo: Variância da Amostra

Agora, suponha que escolhemos uma amostra da população: 150 cm, 170 cm, e 190 cm.

1. Calcule a média ([math]\bar{x}[/math]):

[math]\bar{x} = \frac{150 + 170 + 190}{3} = 170 \text{ cm}[/math]

2. Calcule os desvios de cada valor em relação à média e eleve ao quadrado:

[math](150 – 170)^2 = 400[/math] [math](170 – 170)^2 = 0[/math] [math](190 – 170)^2 = 400[/math]

3. Encontre a média desses desvios ao quadrado, dividindo por n-1:

[math]s^2 = \frac{400 + 0 + 400}{3-1} = 400 \text{ cm}^2[/math]

Variância e Desvio Padrão

É importante mencionar que a variância está relacionada ao desvio padrão, que é outra medida de dispersão. O desvio padrão é simplesmente a raiz quadrada da variância.

Enquanto a variância é útil para entender a dispersão dos dados, o desvio padrão é frequentemente preferido na prática porque está na mesma unidade dos dados originais, facilitando a interpretação.

Assista ao vídeo abaixo para entender como se calcula cada um dos dois:

Análise da Variância (ANOVA)

A Análise da Variância (ANOVA) é uma técnica estatística utilizada para comparar as médias de três ou mais grupos, determinando se pelo menos uma das médias é significativamente diferente das outras. ANOVA é amplamente utilizada em experimentos científicos, estudos clínicos, pesquisas de mercado e em várias outras áreas para testar hipóteses sobre diferenças entre grupos.

O objetivo da ANOVA é investigar se as diferenças observadas entre as médias dos grupos são maiores do que seria esperado ao acaso. A ANOVA faz isso analisando a variabilidade total dos dados e separando-a em componentes atribuíveis a diferentes fontes de variação: a variação entre os grupos e a variação dentro dos grupos.

Machine Learning e Ciência de Dados

Na prática de machine learning e ciência de dados, a variância é um conceito crucial, especialmente quando se trata de avaliar e ajustar modelos preditivos.

Em particular, a variância está intimamente ligada ao viés, formando o famoso trade-off viés-variância, que descreve a tensão entre a capacidade de um modelo de captar padrões complexos nos dados e sua capacidade de generalizar bem para novos dados.

Trade-off Viés-Variância

• Viés: Refere-se ao erro introduzido por suposições excessivamente simplistas no modelo de aprendizado. Modelos com alto viés tendem a subajustar os dados.
• Variância: Refere-se à sensibilidade do modelo a pequenas variações nos dados de treinamento. Modelos com alta variância tendem a superajustar os dados.

O objetivo em machine learning é encontrar um equilíbrio adequado entre viés e variância para minimizar o erro total do modelo.

Utilização da Variância em Análises

A variância é utilizada em várias análises estatísticas e algoritmos de machine learning. Alguns exemplos incluem:

• Análise de Componentes Principais (PCA): PCA usa a variância para identificar as direções (componentes principais) que capturam a maior parte da variação nos dados.
• Regressão Linear: A variância dos erros (resíduos) é usada para avaliar a qualidade do ajuste do modelo.
• Algoritmos de Clustering: Algoritmos como K-means usam variância dentro dos clusters para avaliar a compacidade e a separação dos clusters.

Conclusão

A variância é uma medida estatística fundamental que fornece insights valiosos sobre a dispersão dos dados em relação à média. Compreender a variância é essencial para a análise de dados e para a construção de modelos de machine learning robustos e eficazes.

Seja calculando a variância de uma população inteira ou de uma amostra, a fórmula da variância nos ajuda a quantificar a variação e a compreender melhor as características dos dados. Em última análise, a variância é uma ferramenta poderosa para cientistas de dados, analistas e engenheiros de dados que buscam extrair informações significativas de seus conjuntos de dados.

Para aprofundar seus conhecimentos sobre variância e outras técnicas estatísticas, recomendo a leitura de literatura especializada e a prática contínua em projetos de análise de dados e machine learning.

Se você está partindo do zero, um bom curso básico de estatística, que inclui conceitos de variância é do Khan Academy. O curso possui uma didática excelente e é gratuito.

Referências

• Montgomery, D. C., & Runger, G. C. (2010). Applied Statistics and Probability for Engineers. John Wiley & Sons.
• James, G., Witten, D., Hastie, T., & Tibshirani, R. (2013). An Introduction to Statistical Learning: with Applications in R. Springer.
• Bishop, C. M. (2006). Pattern Recognition and Machine Learning. Springer.